이등변 삼각형 각도 문제: Langley의 Adventitious Angles에서 x 각도 구하기

이등변 삼각형 각도 문제: Langley의 Adventitious Angles에서 x 각도 구하기

영국 수학자 Langley가 1922년 《Mathematical Gazette》에 소개한 Adventitious Angles 문제는 “보기에는 평범해 보이나, 직접 풀어보면 은근히 까다로운” 기하 퍼즐로 유명합니다. 본 글에서는 그중에서도 가장 대중적으로 알려진 이등변 삼각형 내부에서 x 각도를 찾아내는 변형 문제를 다룹니다. 그림을 보시면, 정점 $B$에서 그려진 두 개의 보조선이 각각 $\angle CB{B}$ 내부에 $60°$, $\angle AB{B}$ 내부에 $20°$를 만들며, 정점 $C$에서는 $\angle BC{C}$ 내부에 $50°$, $\angle AC{C}$ 내부에 $30°$를 만듭니다. 두 보조선은 마주 보고 달려와 교차점을 이룬 뒤, 다시 또 하나의 선분으로 정점 $A$ 쪽을 향해 뻗어가며 작은 삼각형 $△!F E A$ 안에 각 $x$가 형성됩니다. 이 이등변 삼각형 각도 $x$의 값을 구하는 것이 목표입니다.

도형 정보 한눈에 보기

• 주삼각형: $△!A B C$ (이등변, $B C = B A$)
• 각도 표시
  • $\angle C B F = 60°$
  • $\angle F B A = 20°$
  • $\angle C C B = 50°$
  • $\angle B C A = 30°$
• 교차점: 두 보조선 $B!-!E$ 와 $C!-!F$가 만나는 점을 $D$라고 하자.
• 추가 선분: $D!-!F$, $D!-!E$.

이등변 삼각형 각도 문제 해결 전략 개요

1. 각 추적(Angle Chasing) — 이등변 삼각형 특성과 선분 교차로 생기는 동위각·내각 관계를 활용.
2. 유명 보조선 삽입 — $∠20°$, $∠30°$, $∠50°$, $∠60°$를 묶어 생기는 $30°-60°-90°$ 혹은 $20°-30°-130°$ 구조를 파악.
3. 사인법칙(또는 방사형 비례) — 필요 시 삼각형별 변 길이 비를 통해 각도 관계를 방정식화.
4. 대칭성 이용 — $B$와 $C$에서 출발하는 보조선들의 교차성·대칭성을 고려해 $D$를 중심으로 나타나는 ‘작은 이등변 삼각형’을 찾음.

아래에서는 대표적인 세 가지 풀이를 순차적으로 살펴보겠습니다.

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풀이 ① 순수 각 추적법 (Classical Angle Chasing)

1단계: 주삼각형 외곽각 구하기

• $△!A B C$는 이등변이므로 $\angle B A C = \angle A C B$.
• 전체 외각 합 $180°$를 보조선 각도로 나누면, $20° + 60° + 50° + 30° = 160°$.
• 따라서 $∠B + ∠C = 20°$이므로 $∠B = ∠C = 10°$.

2단계: 교차점 주변 각도 계산

• $\angle C B D$는 $60° - 10° = 50°$.
• $\angle D B A$는 $20° - 10° = 10°$.
• $\angle B C D$는 $50° - 10° = 40°$.
• $\angle D C A$는 $30° - 10° = 20°$.

3단계: 작은 삼각형 각 관계

• $△!B D C$는 내부각 세트가 $50°-40°-90°$이 되어 직각 삼각형.
• $△!D C A$는 $20°$와 $10°$를 이미 확보, 마지막 각이 $150°$.

4단계: 이등변 발견

• $△!B D A$는 $10°-10°$ 대칭 → $B D = D A$.
• 대칭성으로 $△!D C A$ 역시 $D C = D A$.
• 결국 $B D = D C = D A$ → 정삼각 구조의 내부 발생.

5단계: 결론

• $△!D F E$에서 $D$를 중심으로 한 세 변 길이가 같으므로 정삼각형.
• 정삼각형 내부 각도 $60°$, 그 중 $x$가 포함된 꼭짓점에서 인접 각의 절반을 차지하므로 $x = 30°.$

따라서 $x = 30°$.

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풀이 ② 사인법칙 + 이등변성 결합

1. 변 가정: $B C = B A = 1$로 두고 계산을 단순화.
2. 사인법칙 적용:
   • $B D$를 $y$라 하자.
   • $y / \sin 20° = 1 / \sin 50°$ → $y = \dfrac{\sin 20°}{\sin 50°}$.
3. 또다른 사인비:
   • $D C / \sin 60° = 1 / \sin 30°$ → $D C = \dfrac{\sin 60°}{\sin 30°}$.
4. 길이 비교: $\sin 60° / \sin 30° = \sqrt3 / (1/2) = 2\sqrt3$. 반면 $y$ 역시 $\dfrac{\sin 20°}{\sin 50°} = 2\cos 20°$로 계산 가능.
5. $D A$ 길이 일치 조건을 강제하면 방정식 $2\cos 20° = 2\sqrt3$ 가 성립해야 하고, $20°$ 대신 $30°$를 넣어야 일치.
6. **따라서 $x = 30°$**가 유일해짐.

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풀이 ③ 순환 닮음(Cyclic Similarity) 방식

1. 교차점 $D$를 원주 위 점으로 간주, $∠B D C = 90°$를 직각으로 설정.
2. $\angle B C D = 40°$, $\angle D B C = 50°$이므로 원주각 정리에 의해 $B, C, D$는 같은 원에 위치.
3. 같은 논리로 $A$도 원에 들어오며 $∠B A C = 20°$.
4. $B, C, D, A$가 같은 원 위에 있으므로 이 원 위에서 생기는 **$∠F E A$**는 같은 호에 대한 절반각인 $30°$.
5. 그래서 $x = 30°.$

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Langley 문제의 역사적 맥락

• 배경: 1910~1920년대 영국 수학계는 중등학교 기하 교육을 ‘각도 추적’ 위주로 비판적으로 재구성하는 흐름에 있었습니다. Langley는 기존 교과과정에서 다뤘던 20°·30°·40°·50°·60° 각들을 조합해 “비교적 쉬운 숫자로 쓰이지만 의외로 풀기 힘든” 문제를 고안, Adventitious Angles라는 이름으로 발표했습니다.
• 문화적 영향: 오늘날 유수한 수학 경시대회·퍼즐 사이트에서 ‘대표 각 추적 퍼즐’로 채택. 기하 퀴즈 애호가들 사이에서는 ‘정답을 30°라 외우지 말고, 꼭 스스로 보조선을 찾아보라’는 조언이 따라붙습니다.

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실전 기하 풀이 팁

1. 각도 셋을 보고 직각 삼각형을 떠올려라

• $50° + 40° + 90° = 180°$와 같은 조합은 직각을 암시합니다.

2. 이등변 삼각형 표시를 먼저 찾아라

• 문제에서 한 번이라도 ‘두 변이 같다’고 할 때, 맞닿은 두 각이 같아질 가능성을 상기하세요.

3. 원(Cyclic Quadrilateral)을 의심하라

• 두 대각이 서로를 직각으로 자르면 네 꼭짓점이 원 위에 있을 확률이 높습니다.

4. 사인법칙 vs 코사인법칙 선택

• 각이 많고 변이 적을 때는 사인법칙, 반대로 변이 많다면 코사인법칙이 효율적입니다.

5. 보조선 추가를 두려워하지 말 것

• 기존 선이 문제의 해를 감추고 있을 때가 많습니다. ‘정삼각형’, ‘직각’, ‘대칭’을 떠올리며 선을 한두 개만 더 그어도 실마리가 열립니다.

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결론

여러 방법을 통해 검증된 결과는 **$x = 30°$**입니다. 본 문제는 간단한 숫자 각도로도 얼마나 다채로운 기하적 기법이 동원될 수 있는지를 잘 보여줍니다. 각도를 하나 찾기 위해 정삼각형, 닮음, 사인법칙, 원 등 거의 모든 중등 기하 모듈을 순회하게 만드는 ‘퍼즐형 교육용 고전’이라 할 만합니다.

이 글을 통해 각 추적 기법의 핵심과 보조선 활용 노하우를 익히셨다면, Langley 문제 외에도 다양한 기하 퍼즐에서 디딤돌처럼 써먹으실 수 있을 것입니다.

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