사다리꼴 넓이 구하는 공식 유도, 예시

사다리꼴 넓이 구하는 공식 유도, 예시

1. 사다리꼴이란 무엇인가?

1.1 사다리꼴 정의

사다리꼴(trapezoid)은 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형입니다. 평행한 두 변을 ‘밑변(상·하단)’이라 하고, 밑변 사이의 최단 거리를 ‘높이’라 정의합니다. 밑변의 길이를 각각 $a$, $b$, 높이를 $h$라 두면, 사다리꼴의 크기를 결정짓는 세 요소가 완성됩니다.

1.2 일상 속 사례

• 건축물의 경사 지붕 단면
• 수로(水路) 단면 설계
• 육안으로는 ‘부채꼴’처럼 보이지만 실제 치수는 사다리꼴로 계산되는 도로 차선 구역

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2. 사다리꼴 넓이 구하는 공식 유도

사다리꼴의 넓이 구하는 공식은 단 한 줄로 요약됩니다.

$$
\text{Area} = \frac{(a+b),h}{2}
$$

그러나 ‘왜’ 성립하는지 이해해야 응용이 자유롭습니다. 아래 세 가지 관점으로 완전 해부해 보겠습니다.

2.1 잘라서 재배열하는 기하학적 변환

1. 사다리꼴을 띠 모양의 직사각형과 두 개의 삼각형으로 분해합니다.
2. 분해한 삼각형 하나를 좌우로 뒤집어 다른 삼각형 위에 겹치면, 밑변이 $a+b$인 평행사변형이 됩니다.
3. 평행사변형 넓이 공식 $= \text{밑변}\times\text{높이}$를 적용하면
   $\text{Area}= (a+b)\times\frac{h}{2}$
   평행사변형으로 만들 때 높이가 $h/2$로 절반이 된다는 점을 주목하십시오.

2.2 평행사변형 대칭 복제법

• 사다리꼴을 180° 회전하여 원본과 붙이면, 밑변이 $(a+b)$, 높이가 $h$인 평행사변형이 완성됩니다.
• 두 사다리꼴을 붙여 만든 평행사변형 넓이가 $(a+b)\times h$이므로, 원래 사다리꼴 하나는 그 절반인 $\dfrac{(a+b)h}{2}$가 됩니다.

2.3 대각선 분할을 통한 삼각형 합

• 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 두 개의 삼각형으로 나눕니다.
• 삼각형 1의 밑변 $=a$, 삼각형 2의 밑변 $=b$, 두 삼각형 모두 높이는 $h$.
• 삼각형 넓이 공식 $\frac{1}{2}\times\text{밑변}\times\text{높이}$를 각각에 적용해 합산하면 역시 같은 결과가 도출됩니다.

2.4 좌표평면 적분을 이용한 일반화

1. 밑변 $a$를 $x=0$, 밑변 $b$를 $x=a$로 두고, 윗변을 $y = mx + c$ 형태의 1차 함수로 정의합니다.
2. 높이 $h$는 윗변과 평행한 선과의 $y$-축 거리입니다.
3. 면적 $= \displaystyle \int_{0}^{a} \bigl(mx + c\bigr),dx$를 계산하면 역시 $\frac{(a+b)h}{2}$로 귀결됩니다.

Tip: 미적분 기반 증명은 변형 사다리꼴(윗변이 곡선인 도형)의 넓이를 구하는 데도 응용됩니다.

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3. 공식의 확장

3.1 둔각·오목 사다리꼴

밑변이 내·외부로 ‘기울어진’ 형태라도 밑변 사이 거리만 수직 높이로 측정하면 같은 공식이 그대로 적용됩니다.

3.2 사다리꼴 프리즘(사다리꼴 기둥) 부피

• 밑넓이 $A = \dfrac{(a+b)h}{2}$,
• 깊이(혹은 길이) $l$이라면,
  $\text{Volume} = A\times l = \frac{(a+b)h,l}{2}$
  도로 공사 단면적 산출 등에서 자주 쓰입니다.

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4. 실전 예제 풀이

4.1 교과서 기본 예제

• 윗변 $a=8\text{ cm}$, 아랫변 $b=14\text{ cm}$, 높이 $h=5\text{ cm}$
  $A=\frac{(8+14)\times5}{2}=55\text{ cm}^2$

4.2 생활 속 문제 - 밭 면적 측정

농지 A는 한쪽 경계가 하천, 반대쪽은 농로라 서로 평행합니다. 길이가 32 m와 22 m, 두 변 간 평균 폭 18 m.
$A=\frac{(32+22)\times18}{2}=486\text{ m}^2$
농지원부 작성 시 직접 활용 가능합니다.

4.3 엔지니어링 케이스 - 도로 절취 단면

• 절취면 상단 폭 6 m, 하단 폭 14 m, 수직 절취 높이 3 m, 도로 길이 200 m.
• 단면적 $A=\frac{(6+14)\times3}{2}=30\text{ m}^2$
• 토사량(부피) $V=30\times200=6000\text{ m}^3$

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5. 자주 하는 실수 체크리스트

• 높이 $h$는 반드시 밑변과 직각인지 확인: 사다리꼴이 기울어 있더라도 슬라이트 거리를 수평으로 재면 오답.
• 단위 일관성: cm, m 혼용 금지.
• 소수점 반올림: 공식 값 ×100, 나누기 후 반올림 오차 지켜보기.
• 기울어진 경계선: 실제 거리 대신 투영 길이 사용 주의.

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6. 학습 팁 및 결론

사다리꼴 넓이 공식은 단순하지만, 증명 과정을 머릿속에 시각화해야 응용할 때 실수가 없습니다.

• 도형 잘라 붙이기 → 기하 감각 강화
• 적분 증명 → 고교·대학 수준 확장 문제 대비
• 생활형 예제 → 이론의 실전 체화

📌 마지막 정리: 밑변 길이만 더해도 면적이 두 배가 된다는 착시를 피하려면, 항상 **‘평균 밑변 × 높이’**라는 문구로 기억하세요.

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